Normal dağılım: istatistiğin çan biçimli temel modeli

Normal dağılım nedir?

Normal dağılım (Gauss dağılımı), değerlerin ortalama etrafında simetrik biçimde toplandığı, ortaya yakın değerlerin sık, uçlardaki değerlerin ise giderek seyrek görüldüğü sürekli olasılık dağılımıdır. Grafiği çan eğrisi biçimindedir.

Dağılım yalnızca ortalama ve standart sapma ile tanımlanır. Ortalama eğrinin merkezini, standart sapma ise genişliğini belirler. Standart sapma küçükse eğri dar ve sivri, büyükse geniş ve yassıdır. Normal dağılımda ortalama, medyan ve en sık görülen değer aynı noktada buluşur.

Neden bu kadar önemlidir?

İlk neden doğada ve ölçümde sık karşılaşılmasıdır. Birçok küçük ve bağımsız etkinin toplamı olarak ortaya çıkan büyüklükler, örneğin ölçüm hataları ya da bir üretim parçasının boyutundaki küçük sapmalar, çoğu zaman bu şekle yakın dağılır.

İkinci neden, merkezi limit teoremi sayesinde örneklem ortalamalarının, kaynak veri normal olmasa bile, yeterince büyük örneklemlerde yaklaşık normal dağılmasıdır. Bu özellik güven aralıkları ve birçok hipotez testinin temelini oluşturur. Üçüncü neden hesap kolaylığıdır: bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu veren z-skoru ile herhangi bir normal dağılım standart biçime çevrilir ve olasılıklar tablolardan ya da yazılımdan okunur.

Normal dağılım nasıl yorumlanır?

Eğri altındaki alan olasılığı gösterir. Bir değerin belirli bir aralığa düşme olasılığı, o aralık üzerindeki alanla bulunur. Ortalamadan uzaklaştıkça olasılık hızla azalır; bu yüzden ortalamadan birkaç standart sapma uzak bir değer nadir bir olay sayılır ve aykırı değer adayı olarak incelenir.

Örneğin bir fabrikada dolum makinesinin doldurduğu ürün ağırlığı normale yakın dağılıyor olsun. Ortalama hedef ağırlığa ayarlıdır ve standart sapma makinenin değişkenliğini gösterir. Hedefin altına düşen ürünlerin oranı, hedef ile ortalama arasındaki uzaklığın standart sapmaya oranından tahmin edilir. Kalite ekibi bu bilgiyle ayarı kaydırarak hem eksik dolumu hem de gereksiz fazla dolumu azaltabilir.

Verinin normal olup olmadığı nasıl anlaşılır?

Yöntemler görsel ve istatistiksel olarak ayrılır:

• Histogram: dağılımın simetrik ve çan biçimli olup olmadığına bakılır.
• Normal olasılık grafiği (Q-Q grafiği): veri normalse noktalar düz bir çizgi boyunca dizilir; uçlarda sapma varsa kuyruklar normalden farklıdır.
• Normallik testleri: Shapiro-Wilk ya da Anderson-Darling gibi testler normalliği sınar. Büyük örneklemlerde küçük sapmaları bile anlamlı bulabilir, küçük örneklemlerde ise gücü zayıftır; bu yüzden grafikle birlikte okunmalıdır.

R'da bunun için hist(x), qqnorm(x) ile qqline(x) ve shapiro.test(x) komutları kullanılır.

Her veri normal midir?

Hayır. Gelir, bekleme süresi ve satış tutarları gibi büyüklükler genellikle sağa çarpıktır: çoğu değer küçük, az sayıda değer çok büyüktür. Böyle bir veride ortalama ve standart sapma tek başına yanıltabilir. Logaritma dönüşümü ya da başka dağılımlar (üstel, log-normal gibi) daha uygun olabilir. Kategorik ve sayma verileri ise çoğu zaman farklı dağılımlarla modellenir.

Normallik varsayımı gerektiren bir test kullanmadan önce bu varsayımın makul olup olmadığını kontrol etmek, yanlış sonuç çıkmasını önleyen en basit adımdır. Varsayım ihlal ediliyorsa parametrik olmayan testlere ya da dönüşümlere başvurulur.

Kullanım alanları

Kalite kontrolde süreç değişkenliğinin izlendiği kontrol grafikleri ve süreç yeterlilik analizleri normal dağılım varsayımına dayanır. Finansta getirilerin modellemesi, istatistikte güven aralığı ve hipotez testleri, makine öğrenmesinde ise başlangıç ağırlıklarının atanması ve hata terimlerine ilişkin varsayımlar bu dağılımdan beslenir.

Eğitim ve sağlık alanında standartlaştırılmış puanlar, ölçeklerin ortalamaya ve standart sapmaya göre yorumlanması da normal dağılım mantığını kullanır.

Mindset programlarında normal dağılım

'Veri Bilimi için İstatistik Eğitimi' normal dağılımı kendi modülünde, ardından örneklem dağılımları ve merkezi limit teoremini işler. 'İstatistik Temelleri (İş Profesyonelleri İçin)' olasılık ve dağılımları iş yaşamı örnekleriyle anlatır; 'R İle Matematiksel ve İstatistiksel Veri Analizi' ise olasılık dağılımlarını ve simülasyonu R'da uygulamalı çalışır.

'İstatistiksel Süreç Kontrolü (SPC)' programı kontrol grafikleri ve proses kabiliyeti analizini içerdiği için normal dağılımı üretim ve kalite bağlamında kullanacak ekiplere uygundur.