t dağılımı: küçük örneklemde normal dağılımın yerini alan dağılım
t dağılımı, evrenin standart sapması bilinmediğinde ve örneklem küçükken ortalama hakkında çıkarım yapmak için kullanılan çan biçimli bir dağılımdır. Normal dağılıma benzer ama kuyrukları daha kalındır.
Bir bakışta
- t dağılımı simetrik ve çan biçimlidir. Merkezi sıfırdadır; normal dağılıma benzer ama kuyrukları daha kalındır.
- Tek bir şekli yoktur, serbestlik derecesine bağlı bir ailedir. Serbestlik derecesi küçükse kuyruklar kalın, büyükse normale yakındır.
- Standart sapma örneklemden tahmin edildiğinde kullanılır. Bu tahmin ek belirsizlik getirir; t dağılımı bunu hesaba katar.
- Güven aralığı ve t-testi bu dağılıma dayanır. Eşik değerler t tablosundan ya da yazılımdan okunur.
t dağılımı nedir?
t dağılımı (Student's t distribution), örneklem ortalamasını standart hatasına bölerek elde edilen t istatistiğinin izlediği dağılımdır. Evrenin standart sapması bilinmiyor ve örneklemden tahmin ediliyorsa, ortalama hakkındaki çıkarım normal dağılıma göre değil t dağılımına göre yapılır.
Adını yazarın kullandığı "Student" takma adından alır. Şekli tek bir eğri değil, bir dağılım ailesidir; hangi üyesinin kullanılacağını serbestlik derecesi belirler.
Bilinmeyen standart sapma, kalın kuyruklu bir dağılıma yol açar
Nedenden sonuca
- Standart sapma bilinmiyorEvrenin yayılımı örneklemden tahmin edilir.
- Ek belirsizlikKüçük örneklemde bu tahmin kendisi de sapabilir.
- Kalın kuyruklu t dağılımıUç değerlerin olasılığı normalden büyüktür; eşikler yükselir.
Normal dağılımdan farkı nedir?
İkisi de simetrik, çan biçimli ve sıfır merkezlidir. Fark kuyruklardadır: t dağılımında uç değerlerin olasılığı daha yüksektir. Bunun nedeni, standart sapmanın da tahmin edilmiş olmasıdır; küçük örneklemde ortalamanın ne kadar sapacağını aşağı çekmemek için güvenlik payı bırakılır.
Pratik sonuç şudur: aynı güven düzeyinde t dağılımının eşik değeri normalinkinden büyüktür, yani güven aralığı daha geniştir. Bu genişlik, küçük örneklemin getirdiği belirsizliğin dürüst bir yansımasıdır.
Serbestlik derecesi arttıkça iki dağılım arasındaki fark kapanır ve t dağılımı standart normale yaklaşır; bu yüzden büyük örneklemde ikisi birbirinin yerine kullanılabilir.
Serbestlik derecesiyle ilişkisi
t dağılımının tek parametresi serbestlik derecesidir. Tek örneklemli testte bu, gözlem sayısı eksi bir olarak bulunur. Derece küçükse kuyruklar kalın, zirve alçaktır; derece büyüdükçe eğri sivrilir ve normale yaklaşır.
Bu nedenle t tablosu, serbestlik derecesi ve anlamlılık düzeyi kesişiminde bir eşik değer verir. Hesapladığınız t istatistiği bu eşiği aşıyorsa sıfır hipotezi reddedilir. Yazılım aynı karşılaştırmayı doğrudan p-değeri olarak verir.
Örnek: küçük bir pilot uygulamada ortalama süre
Bir ekibin yeni bir iş akışını kısa bir pilotta denediğini ve görev sürelerinin ortalamasını hesapladığını düşünün. Gözlem az olduğundan evrenin standart sapması bilinemez, yalnız örneklemden tahmin edilir.
Ortalama için güven aralığı kurarken normal dağılımın eşiği kullanılırsa aralık gereğinden dar çıkar ve ekip kesinliği olduğundan yüksek sanar. t dağılımının eşiği ise aralığı genişletir. Ekip ortalamanın hedefin altında olduğunu söylemek istiyorsa t-testi bu iddiayı daha dürüst bir ölçekte sınar.
Python'da scipy.stats.ttest_1samp(veri, hedef) ya da R'da t.test(veri, mu = hedef) bu testi uygular.
Nerede kullanılır?
Kullanım alanları şunlardır:
- Tek örneklem, bağımsız iki grup ve eşleştirilmiş t-testleri
- Ortalama için güven aralıkları
- Regresyonda katsayıların anlamlılık testi
- A/B testlerinde gruplar arası ortalama farkının sınanması
T dağılımı varsayımı gözlemlerin yaklaşık normal olmasına dayanır. Örneklem küçükken ve veri çok çarpıksa dikkatli olunmalı; büyük örneklemde merkezi limit teoremi bu varsayımı gevşetir.
Mindset programlarında t dağılımı
'Veri Bilimi için İstatistik Eğitimi' T Dağılımı modülünü normal dağılım ve güven aralığından sonra, hipotez sınamasıyla ilişkilendirerek işler. 'Hipotez Testi ve İstatistiksel Çıkarım' programı, bu dağılıma dayanan testleri iş sorularına uygulamak isteyenler için uygundur.
İlgili Mindset programı
Veri Bilimi için İstatistik Eğitimi
Sık sorulan sorular
t dağılımı ne zaman normal dağılıma tercih edilir?
Evrenin standart sapması bilinmiyorsa ve örneklemden tahmin ediliyorsa t dağılımı kullanılır. Pratikte standart sapma neredeyse hiç bilinmediği için ortalama çıkarımlarında varsayılan seçim t dağılımıdır; büyük örneklemde sonuç normalinkine çok yakın çıkar.
t tablosu nasıl okunur?
Satırda serbestlik derecesi, sütunda seçtiğiniz anlamlılık düzeyi (tek ya da çift kuyruklu) bulunur. Kesişim, aşılması gereken eşik değerdir. Hesapladığınız t istatistiğinin mutlak değeri bu eşiği geçerse sonuç anlamlıdır.
t dağılımı için veri normal olmalı mı?
Teorik varsayım, gözlemlerin normal dağılan bir evrenden geldiğidir. Örneklem büyüdükçe ortalama yaklaşık normal davrandığı için test bozulmaya karşı dayanıklıdır. Küçük ve belirgin çarpık veride ise sıralama temelli parametrik olmayan testler daha güvenli olabilir.
t istatistiği ile z-skoru arasındaki fark nedir?
İkisi de bir değerin merkezden kaç standart birim uzak olduğunu ölçer. z-skorunda standart sapma bilinir ya da veri tek bir değerdir, t istatistiğinde ise ortalamanın standart hatası örneklemden tahmin edilir ve karşılaştırma t dağılımına göre yapılır.