t-Testi ile z-Testi: Standart Sapmayı Biliyor musunuz, Tahmin mi Ediyorsunuz?
t-testi ile z-testi aynı soruyu sorar: gözlenen ortalama ya da oran, varsayılan değerden anlamlı biçimde farklı mı? Aradaki fark, kitle standart sapmasının bilinip bilinmediğidir. Bu tek bilgi, kullanılan dağılımı, kritik değerleri ve küçük örneklemde vardığınız sonucu değiştirir.
Bir bakışta
- Kitle standart sapması biliniyorsa z, örneklemden tahmin ediliyorsa t kullanılır. Pratikte standart sapma çoğu zaman bilinmez; bu yüzden ortalama karşılaştırmalarında varsayılan seçim t-testidir.
- t dağılımı, tahmin edilen standart sapmanın getirdiği belirsizliği hesaba katar. Kuyrukları normal dağılımdan daha kalındır ve biçimi serbestlik derecesine göre değişir.
- Örneklem büyüdükçe iki test aynı sonuca yaklaşır. Serbestlik derecesi arttıkça t dağılımı standart normal dağılıma yaklaşır; fark asıl küçük örneklemde önem taşır.
- Oranların karşılaştırılmasında z-testi doğal seçimdir. Hatalı ürün oranı ya da dönüşüm oranı gibi oranlar, yeterince büyük örneklemde normal yaklaşımla z istatistiğine dönüştürülür.
Ortak zemin: aynı oran, farklı payda bilgisi
İki test de aynı yapıda bir istatistik hesaplar: örneklem ortalaması ile varsayılan değer arasındaki farkı, bu farkın ne kadar dalgalanabileceğini gösteren standart hataya bölersiniz. Sonuç büyükse, farkın şansla açıklanması zorlaşır.
NIST'in İstatistik Yöntemleri El Kitabı bu ayrımı tek bir soruya bağlar: kitle standart sapması biliniyor mu, yoksa eldeki veriden mi tahmin ediliyor? Standart sapma veriden tahmin ediliyorsa test istatistiği t olarak hesaplanır ve gözlem sayısının bir eksiği kadar serbestlik derecesine sahip t dağılımıyla karşılaştırılır. Standart sapma biliniyorsa aynı formülde örneklem standart sapması yerine bilinen değer kullanılır ve istatistik z olarak standart normal dağılımla karşılaştırılır.
El kitabı ayrıca daha tipik durumun standart sapmanın veriden tahmin edilmesi olduğunu vurgular. Bu, uygulamadaki dengeyi özetler: z-testi ders kitaplarında sık görülür, gerçek ortalama karşılaştırmalarında ise çoğu zaman t-testi kullanılır.
t dağılımı neden var? Tahminin bedeli
Standart sapmayı örneklemden tahmin ettiğinizde, yalnız ortalama değil standart sapma da örneklemden örnekleme değişir. Küçük bir örneklemde tesadüfen düşük bir standart sapma bulursanız standart hata küçük çıkar ve test istatistiği gerçekte olduğundan büyük görünür. t dağılımı bu ek belirsizliği hesaba katar: kuyrukları standart normal dağılımdan daha kalındır, yani aynı anlamlılık düzeyinde daha büyük bir kritik değer ister.
Bu kalınlık serbestlik derecesine bağlıdır. Gözlem sayısı az olduğunda t dağılımı belirgin biçimde yayvandır; gözlem sayısı arttıkça standart normal dağılıma yaklaşır. Pratik sonucu şudur: büyük örneklemde t-testi ile z-testi neredeyse aynı p değerini verir, küçük örneklemde ise z-testi farkı olduğundan daha anlamlı gösterir.
Kurgusal bir örnek: bir laboratuvar yeni bir kalibrasyon yönteminin ölçüm ortalamasını değiştirip değiştirmediğini az sayıda deneme ile sınıyor. Analist, örneklem standart sapmasını sanki biliniyormuş gibi z formülüne koyarsa yanlış pozitif riskini fark etmeden artırır. Doğru seçim t-testidir.
Ölçüt ölçüt t-testi ve z-testi
- Ölçüt: Standart sapma bilgisi. t-testi: örneklemden tahmin edilir. / z-testi: kitle değeri bilinir ya da oran testinde varsayılan orandan hesaplanır.
- Ölçüt: Karşılaştırılan dağılım. t-testi: serbestlik derecesine bağlı t dağılımı. / z-testi: standart normal dağılım.
- Ölçüt: Kritik değer. t-testi: serbestlik derecesine göre değişir, küçük örneklemde daha büyüktür. / z-testi: anlamlılık düzeyine göre sabittir.
- Ölçüt: Tipik kullanım. t-testi: ortalama karşılaştırmaları; tek örneklem, bağımsız iki grup, eşleştirilmiş ölçümler. / z-testi: oran testleri, standart sapması uzun süredir bilinen kararlı süreçler, büyük örneklem yaklaşımları.
- Ölçüt: Küçük örneklem. t-testi: uygundur, varsayım normal dağılıma yakın veridir. / z-testi: standart sapma bilinmiyorsa yanıltıcı sonuç verir.
- Ölçüt: Raporlama. t-testi: t değeri, serbestlik derecesi ve p değeri. / z-testi: z değeri ve p değeri.
Tek fark standart sapma bilgisidir, sonuçları ise küçük örneklemde ayrışır
| t-testi | z-testi | |
|---|---|---|
| Standart sapma | Örneklemden tahmin edilir | Bilinir ya da varsayılan orandan gelir |
| Dağılım | Serbestlik derecesine bağlı t | Standart normal |
| Kritik değer | Küçük örneklemde daha büyük | Anlamlılık düzeyine göre sabit |
| Tipik kullanım | Ortalama karşılaştırmaları | Oranlar ve bilinen süreç sapması |
| Raporlanan | t, serbestlik derecesi, p değeri | z ve p değeri |
z-testinin gerçekten yerinde olduğu durumlar
z-testinin kullanım alanı dar ama nettir. İlki oran testleridir. NIST el kitabı, bir üretim sürecindeki hatalı ürün oranının belirlenen sınırla karşılaştırılmasını örnek verir: örneklemdeki hatalı oranı ile varsayılan oran arasındaki fark, varsayılan orandan hesaplanan standart hataya bölünür ve sonuç z olarak değerlendirilir. Bu hesap binom dağılımına normal yaklaşıma dayandığı için örneklemin yeterince büyük olması şarttır. Bir web sitesinde iki sayfa sürümünün dönüşüm oranlarını karşılaştırmak da aynı mantıkla iki oran z-testiyle yapılır.
İkinci alan, standart sapması uzun bir geçmiş veriyle kararlı biçimde bilinen süreçlerdir. Yıllardır aynı makinede, aynı ölçüm sistemiyle izlenen bir dolum hattında sürecin değişkenliği istatistiksel süreç kontrolüyle doğrulanmışsa, yeni bir partinin ortalaması bilinen standart sapmayla z-testine sokulabilir. Burada "bilinen" kelimesi bir tahmin değil, kontrol altındaki sürecin belgelenmiş değeri anlamına gelir.
Üçüncüsü büyük örneklem yaklaşımlarıdır. Gözlem sayısı çok büyük olduğunda t ve z sonuçları neredeyse aynıdır; bazı yazılımlar ve raporlar bu yüzden z istatistiği verir. Bu bir hata değildir ama küçük örneklemde aynı kısayolu kullanmak hatadır.
Hangi durumda hangisi?
Seçim için sırayla şu sorular sorulur. Karşılaştırılan büyüklük bir oran mı, yoksa ölçülen bir değerin ortalaması mı? Oransa ve örneklem yeterince büyükse z-testi kullanılır; örneklem küçükse ya da beklenen sayılar düşükse kesin testlere başvurulur.
Ortalamaysa ikinci soru standart sapma hakkındadır. Kararlı ve belgelenmiş bir süreçten gelen kitle standart sapması varsa z-testi; yoksa, ki çoğu iş verisinde durum budur, t-testi kullanılır. t-testi seçildiğinde tasarıma göre tür belirlenir: bilinen bir değerle karşılaştırma tek örneklem, iki ayrı grup bağımsız örneklem, aynı birimlerin önce-sonra ölçümü eşleştirilmiş t-testi ister.
Karar ağacındaki her dal, veri toplanmadan önce yanıtlanabilecek sorulardır. Testi sonuca bakarak değiştirmek, yanlış pozitif riskini artırır.
Önce ne karşılaştırdığınızı, sonra standart sapmayı sorun
- Karşılaştırılan bir oran, örneklem büyükOran için z-testiStandart hata varsayılan orandan hesaplanır.
- Ortalama; kitle standart sapması kararlı süreçten biliniyorz-testiBilinen değer, süreç kontrolüyle belgelenmiş olmalıdır.
- Ortalama; standart sapma örneklemden tahmin ediliyort-testiTasarıma göre tek örneklem, bağımsız ya da eşleştirilmiş.
- Oran ama örneklem küçük ya da beklenen sayılar düşükKesin testNormal yaklaşım geçerli olmayabilir.
Sık yapılan hatalar
- Örneklem standart sapmasını z formülüne koymak. Değer veriden geldiyse test t-testidir; adını z koymak sonucu değiştirmez, yalnız kritik değeri yanlış seçer.
- "Örneklem büyükse z kullanılır" kuralını ezberlemek. Büyük örneklemde t ve z sonuçları yakınsar; ama t-testini büyük örneklemde de kullanmak hiçbir zaman yanlış değildir. Kural, hesabın tablolarla elle yapıldığı dönemden kalan bir kolaylıktır.
- Oranlar için ortalama t-testi kullanmak. Evet-hayır verisi, oran testine ya da çapraz tablo testlerine uygundur.
- Eşleşmiş ölçümleri bağımsız grup gibi test etmek. Aynı müşterilerin kampanya öncesi ve sonrası harcaması eşleşmiştir; farklar üzerinden eşleştirilmiş t-testi gerekir.
- Tek ya da çift kuyruk tercihini sonuca bakarak yapmak. NIST el kitabı, reddetmek için gereken p değerinin test öncesinde belirlenmesini iyi uygulama olarak anar; yön seçimi de aynı biçimde önceden yapılmalıdır.
Bu konuyu Mindset programlarında nerede çalışırsınız
Veri Bilimi için İstatistik Eğitimi, iki testin dayandığı yapıyı sırayla kurar: normal dağılım, örneklem dağılımları ve merkezi limit teoremi, güvenirlik aralığı, hipotezlerin sınanması ve t dağılımı. Bu sırayla ilerleyen biri, z ile t arasındaki farkın neden standart sapma bilgisine bağlı olduğunu formülü ezberlemeden görür.
Data Science Uzmanlığı Sertifika Programı'ndaki istatistik modülü ise hipotez testleri ve p değerini A/B test tasarımı ve yorumlamasıyla birleştirir; oran karşılaştırmalarıyla çalışan ürün ve pazarlama analitiği ekipleri için uygundur.
İlgili Mindset programı
Veri Bilimi için İstatistik Eğitimi
Sık sorulan sorular
Kitle standart sapması gerçek hayatta ne zaman bilinir?
Nadiren ve genellikle üretim ya da ölçüm süreçlerinde. Aynı süreç uzun süre izlenmiş, değişkenliği kontrol grafikleriyle kararlı olduğu gösterilmiş ve bu değer belgelenmişse bilinen standart sapma olarak kullanılabilir. Bir anketten, bir pilot uygulamadan ya da yeni bir ürünün ilk satış verisinden hesaplanan değer ise tahmindir; bu durumda t-testi kullanılır.
Veri normal dağılmıyorsa t-testi yine kullanılabilir mi?
Örneklem yeterince büyükse çoğu zaman evet; merkezi limit teoremi sayesinde ortalamanın örneklem dağılımı, ham veri tam normal olmasa da normale yaklaşır. Küçük örneklemde belirgin çarpıklık ya da uç değerler varsa t-testinin sonucu güvenilmez hâle gelebilir. Bu durumda Mann-Whitney U ya da Wilcoxon gibi sıra tabanlı testler veya bootstrap yaklaşımı daha sağlam bir seçenektir.
A/B testinde dönüşüm oranlarını karşılaştırmak için hangi test kullanılır?
Dönüşüm bir evet-hayır sonucudur ve karşılaştırılan büyüklük orandır. Örneklem yeterince büyükse iki oran için z-testi kullanılır; aynı soru ki-kare bağımsızlık testiyle de sınanabilir ve iki yaklaşım bu durumda aynı sonuca varır. Ziyaretçi sayısı düşükse ya da dönüşüm çok seyrekse normal yaklaşım zayıflar ve kesin testlere başvurulur.
t-testinde serbestlik derecesi neden ayrıca raporlanır?
Aynı t değeri, farklı serbestlik derecelerinde farklı p değerlerine karşılık gelir. Serbestlik derecesi okura, testin kaç gözleme dayandığını ve kritik değerin hangi dağılımdan alındığını gösterir. Bağımsız iki grupta varyanslar eşit varsayılmadığında Welch düzeltmesiyle serbestlik derecesi kesirli çıkabilir; bu da hangi t-testi türünün kullanıldığını anlamaya yardım eder.
z-skoru ile z-testi aynı şey mi?
Hayır, ama akrabadırlar. z-skoru tek bir gözlemin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu gösterir ve standartlaştırma ya da aykırı değer tespiti için kullanılır. z-testi ise bir örneklem ortalamasının ya da oranının varsayılan değerden farkını standart hatayla ölçer ve bir hipotez kararına bağlar. Formüllerin yapısı benzer, sordukları soru farklıdır.