Ortalama ile Medyan Arasındaki Fark: Çarpık Veride Hangisi Tipik Değeri Anlatır?
Ortalama ve medyan aynı soruya, yani tipik değerin ne olduğuna iki farklı cevap verir. Veri simetrikse cevaplar örtüşür; uzun bir kuyruk ya da birkaç uç değer varsa ikisi ayrışır ve hangisini seçtiğiniz raporun anlattığı hikâyeyi değiştirir.
Bir bakışta
- Ortalama toplamı, medyan sırayı esas alır. Bu yüzden tek bir uç değer ortalamayı kaydırır, medyanı neredeyse hiç etkilemez.
- Sağa çarpık veride ortalama medyanın üstünde kalır. Gelir, sipariş tutarı, bekleme süresi gibi uzun kuyruklu verilerde "tipik kişi" için medyan daha doğru resmi verir.
- Toplamla iş yapılacaksa ortalama vazgeçilmezdir. Bütçe, kapasite ve toplam maliyet hesapları ortalamayla adet çarpılarak yapılır; medyanla yapılmaz.
- İkisi arasındaki fark kendi başına bir bulgudur. Ortalama ile medyan belirgin biçimde ayrışıyorsa dağılım çarpıktır ya da veride uç değerler vardır; grafiğe bakmadan karar vermeyin.
İki ölçünün hesap mantığı
Aritmetik ortalama, tüm değerleri toplayıp gözlem sayısına böler. Her gözlem sonuca katkı verir ve katkısı büyüklüğüyle orantılıdır. Bu yüzden ortalama, verideki tüm bilgiyi kullanan bir ölçüdür ama çok büyük ya da çok küçük tek bir değer onu kendi tarafına çekebilir.
Medyan ise değerlerin büyüklüğüyle değil sırasıyla ilgilenir. Veri sıralanır ve ortadaki değer alınır; gözlem sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalaması kullanılır. En büyük değeri çok daha büyük bir değerle değiştirseniz bile sıralamadaki orta nokta değişmez, dolayısıyla medyan değişmez. İstatistikte bu özelliğe dayanıklılık (robustness) denir.
Bu fark, iki ölçünün farklı sorulara cevap verdiği anlamına gelir. Ortalama "toplamı eşit paylaştırsaydık kişi başına ne düşerdi?" sorusunu, medyan "ortadaki kişi ne durumda?" sorusunu cevaplar.
Küçük bir düşünce deneyi farkı somutlaştırır: bir toplantı odasında oturan ekip üyelerinin gelir ortalamasını ve medyanını düşünün. Odaya şirketin en üst yöneticisi girdiğinde ortalama gelir belirgin biçimde yükselir, ama medyan neredeyse yerinde kalır. Odadakilerin hiçbiri daha zengin olmamıştır; değişen yalnız ortalamanın anlattığı hikâyedir.
Dağılımın biçimi ve uç değerler seçimi nasıl değiştirir?
Seçimi belirleyen iki şey vardır: dağılımın simetrik olup olmadığı ve veride uç değer bulunup bulunmadığı. NIST'in istatistik el kitabı, normal dağılım gibi simetrik verilerde ortalama, medyan ve modun çakıştığını; çarpık verilerde ortalamanın uzun kuyruğa doğru çekildiğini; uç değerli verilerde medyanın konum için ortalamadan daha iyi bir tahmin verdiğini belirtir.
- Simetrik dağılım, uç değer yok: İkisi birbirine çok yakındır. Ortalama tüm veriyi kullandığı için tercih edilir ve sonraki testlerin çoğu ortalamaya dayanır.
- Simetrik dağılım, uç değer var: Uç değerin kaynağı önce incelenir. Veri girişi hatasıysa düzeltilir; gerçekse medyan ya da kırpılmış ortalama raporlanır ve uç değer ayrıca belirtilir.
- Çarpık dağılım, belirgin uç değer yok: Tipik değer için medyan daha anlamlıdır; toplam hesabı için ortalama yine gerekir, bu yüzden ikisi birlikte verilir.
- Çarpık dağılım, uç değer var: Ortalama yanıltıcı olur. Medyan çeyreklerle birlikte raporlanır; kitlenin büyük kısmının durumu böyle görünür.
Ortalama yalnız simetrik ve temiz veride tek başına yeterlidir
Ölçüt ölçüt ortalama ve medyan
- Ölçüt: Hesap. Ortalama: toplam bölü gözlem sayısı. / Medyan: sıralı verinin orta noktası.
- Ölçüt: Uç değere duyarlılık. Ortalama: yüksektir, tek bir değer sonucu kaydırabilir. / Medyan: düşüktür, sıralama değişmedikçe sonuç değişmez.
- Ölçüt: Toplamla ilişki. Ortalama: adetle çarpıldığında toplamı verir. / Medyan: toplamı geri vermez.
- Ölçüt: Matematiksel kullanım. Ortalama: varyans, standart sapma, t testi, regresyon gibi yöntemlerin temelidir. / Medyan: çeyrekler, kutu grafiği ve parametrik olmayan testlerle birlikte kullanılır.
- Ölçüt: Gruplar arası birleştirme. Ortalama: alt grupların ortalamaları ağırlıklandırılarak genel ortalamaya çevrilebilir. / Medyan: alt grup medyanlarından genel medyan hesaplanamaz, ham veriye dönmek gerekir.
- Ölçüt: Sıralı (ordinal) veri. Ortalama: puan aralıkları eşit değilse yorumu tartışmalıdır. / Medyan: sıralı ölçeklerde güvenle kullanılır.
Tablo özetle şunu söyler: ortalama hesaplamaya ve modellemeye, medyan ise tipik durumu anlatmaya daha uygundur. Ayrım teknik değil, iletişimseldir.
İş hayatından örnekler: hangi soru, hangi ölçü?
Bir çağrı merkezinde çağrı süreleri çoğunlukla kısadır ama birkaç karmaşık şikâyet çok uzun sürer. "Müşteri tipik olarak ne kadar bekliyor?" sorusu için medyan doğru cevaptır. "Önümüzdeki ay kaç temsilci saatine ihtiyacımız var?" sorusu için ise ortalama gerekir; çünkü uzun çağrılar da kapasiteden yer.
Bir e-ticaret sitesinde sipariş tutarları sağa çarpıktır: çoğu sepet küçüktür, az sayıda kurumsal sipariş çok büyüktür. Pazarlama ekibi tipik müşteriye uygun kampanya eşiği ararken medyana bakar; finans ekibi gelir tahmininde ortalamayı kullanır. İki ekip aynı veriden farklı sayı raporladığında ikisi de haklı olabilir, yeter ki hangi ölçüyü neden seçtiklerini yazsınlar.
Gelir ve konut fiyatı gibi veriler de genellikle sağa çarpıktır. Bu tür verilerde kamuoyuna medyan değerin raporlanması, ortalamanın birkaç çok yüksek değerle şişmesini önlemek içindir.
Seçimi, sayının hangi soruyu cevaplayacağı belirler
- Tipik müşteri, çalışan ya da işlem ne durumda?MedyanÖzellikle sağa çarpık ve uç değerli verilerde
- Toplam bütçe, kapasite ya da maliyet ne olacak?OrtalamaAdetle çarpılınca toplamı verir
- Veri simetrik ve uç değer yokOrtalamaİki ölçü örtüşür, sonraki testler de ortalamaya dayanır
- Dağılımı bilmiyorumİkisini birlikte verAradaki fark çarpıklığın işaretidir; grafiğe bakın
Raporlarken yapılan hatalar
En yaygın hata, dağılıma bakmadan yalnız ortalamayı raporlamaktır. Uzun kuyruklu bir veride ortalama, kimsenin gerçekten yaşamadığı bir değeri gösterebilir. Bir histogram ya da kutu grafiği, ortalamanın temsil gücünü birkaç saniyede gösterir.
İkinci hata, aykırı değeri sessizce silmektir. Medyan kullanmak uç değeri görmezden gelmek demek değildir; uç değerler çoğu zaman en ilginç bilgiyi taşır, örneğin gerçekten sorunlu bir tedarikçiyi ya da kurumsal bir müşteriyi. Uç değer ayrıca raporlanır, ancak tipik değer hesabını bozmasına izin verilmez.
Üçüncü hata, alt grupların medyanlarını ortalayıp genel medyan sanmaktır. Medyan böyle birleştirilmez; genel medyan için tüm ham veri yeniden sıralanmalıdır. Son olarak, ortalama ile medyanı aynı raporda farklı tablolarda karışık kullanmak okuru şaşırtır; hangi ölçünün nerede kullanıldığı tablo başlığında açıkça yazılmalıdır.
Bir de zaman içinde karşılaştırma tuzağı vardır. Geçen yılın ortalaması ile bu yılın medyanı yan yana konduğunda ortaya çıkan fark, gerçek bir değişimden değil ölçü değişikliğinden kaynaklanabilir. Dönemler arası karşılaştırmada aynı ölçü kullanılmalı, ölçü değişecekse eski dönemler de yeniden hesaplanmalıdır.
Bu seçimi Mindset programlarında nerede çalışırsınız?
Veri Bilimi için İstatistik Eğitimi, tanımlayıcı istatistikler, çizelgeler ve grafikler ile aykırı değerler modüllerinde merkez ve yayılım ölçülerinin seçimini dağılım biçimiyle birlikte ele alır; normal dağılım modülü de iki ölçünün neden örtüştüğünü gösterir. Rapor hazırlayan analistler ve veriyle karar alan yöneticiler için kazanım, yanıltıcı bir özet sayısını daha tabloyu yayımlamadan fark edebilmektir.
İlgili Mindset programı
Veri Bilimi için İstatistik Eğitimi
Sık sorulan sorular
Mod ne zaman ortalama ve medyandan daha kullanışlıdır?
Mod, en sık görülen değeri verir ve özellikle kategorik verilerde tek anlamlı merkez ölçüsüdür: en çok tercih edilen ürün rengi, en sık seçilen teslimat seçeneği gibi. Sayısal veride birden fazla tepe varsa, yani dağılım iki ayrı grubu barındırıyorsa, mod bu yapıyı ortalama ve medyandan daha iyi gösterir.
Ortalama medyandan büyükse bu ne anlama gelir?
Genellikle dağılımın sağa çarpık olduğunu, yani büyük değerler tarafında uzun bir kuyruk bulunduğunu gösterir. Ortalama medyandan küçükse sola çarpıklık söz konusudur. Bu bir ipucudur, kesin tanı değildir; dağılımın biçimini histogram ya da kutu grafiğiyle doğrulamak gerekir.
Kırpılmış ortalama ne zaman tercih edilir?
Ortalamanın tüm veriyi kullanma avantajını korumak ama uç değerlerin etkisini azaltmak istediğinizde kullanılır. En küçük ve en büyük değerlerden belirli bir pay atılır, kalanların ortalaması alınır. Medyan ile aritmetik ortalama arasında bir uzlaşmadır; hangi payın atıldığı raporda mutlaka belirtilmelidir.
Anket puanlarında ortalama mı medyan mı kullanılmalı?
Likert türü ölçeklerde puanlar sıralıdır ve aralıkların eşit olduğu kesin değildir. Bu yüzden medyan ve dağılım tablosu daha savunulabilir bir özettir. Uygulamada ortalama da sık raporlanır; özellikle birçok maddenin toplandığı ölçek puanlarında kabul görür. Hangi yolu seçerseniz seçin, yanıtların dağılımını da göstermeniz yorum hatalarını azaltır.
Medyanın güven aralığı hesaplanabilir mi?
Hesaplanabilir. Sıralı istatistiklere dayanan yöntemler ya da yeniden örnekleme (bootstrap) ile medyan için aralık verilir. Ortalamanın güven aralığı standart hataya dayanır ve veri normal değilse küçük örneklemde güvenilirliği azalır; medyanın aralığı ise dağılım varsayımına daha az bağımlıdır.
Makine öğrenmesinde eksik değerleri doldururken ortalama mı medyan mı kullanılır?
Sayısal bir değişkende eksik değerler doldurulacaksa, değişken çarpıksa ya da uç değerler içeriyorsa medyan daha güvenli bir seçimdir; ortalama uç değerlerin etkisini doldurulan tüm satırlara taşır. Her iki durumda da doldurma değeri yalnız eğitim verisinden hesaplanmalı ve eksikliğin kendisi ayrı bir gösterge değişkeniyle işaretlenmelidir; eksik olmak bazen başlı başına bilgi taşır.