Ki-Kare Bağımsızlık Testi: Çapraz Tablodan Yoruma

Ki-kare bağımsızlık testi neyi sorar?

Ki-kare bağımsızlık testi, iki kategorik değişken arasında istatistiksel bir ilişki olup olmadığını sınar. Kategorik değişken, değerleri sayı değil sınıf olan değişkendir: müşteri tipi, bölge, arayüz sürümü, memnun olup olmama gibi. Test, sınıfların satırlarda ve sütunlarda yer aldığı bir çapraz tablodaki sayımlarla çalışır.

Sınanan boş hipotez (H0), iki değişkenin birbirinden bağımsız olduğudur. Alternatif hipotez ise bir ilişki bulunduğunu söyler. Karar, tablodaki gözlenen sayımlar ile bağımsızlık doğru olsaydı görülmesi beklenen sayımlar arasındaki farkın ne kadar büyük olduğuna bakılarak verilir.

Bu test, ortalamaları karşılaştıran t testinden farklıdır; sürekli ölçümler yerine sayımlarla çalışır. Ki-kare testi de genel hipotez testi mantığına dayanır: boş hipotez, anlamlılık düzeyi ve p değeriyle karar verilir; farkı, karşılaştırmanın ortalamalar üzerinden değil sınıf sayımları üzerinden yapılmasıdır.

Veriyi çapraz tabloya hazırlamak

Test, ham kayıtlardan değil sayım tablosundan yürür. Her gözlem tabloda yalnız bir hücreye girmelidir ve gözlemler birbirinden bağımsız olmalıdır. Aynı kişiden tekrarlı ölçüm alındıysa ya da eşleştirilmiş veri varsa bu test uygun değildir.

Örnek senaryo: Bir e-ticaret ekibi sitenin farklı arayüz sürümlerini bir süre canlı yarıştırıyor. Ziyaretçiler sürümlere rastgele atanıyor, her ziyaretçi yalnız bir sürümü görüyor ve ziyaretin sonunda satın alma yapıp yapmadığı kaydediliyor. Tablo şöyle oluşuyor:

• Sürüm A: satın alan 40, almayan 60, toplam 100
• Sürüm B: satın alan 25, almayan 75, toplam 100
• Sütun toplamları: satın alan 65, almayan 135, genel toplam 200

Tabloyu kurarken satır ve sütun sınıflarının birbirini dışladığına ve her gözlemi kapsadığına dikkat edin. Sınıflar arasında örtüşme varsa sayımlar çift sayılır.

Adım adım hesap: beklenen sıklıktan test istatistiğine

Önce her hücre için beklenen sıklık bulunur: satır toplamı ile sütun toplamı çarpılır, genel toplama bölünür. Örnekte sürüm A için satın alan hücresinde beklenen sıklık, 100 çarpı 65 bölü 200, yani 32,5 çıkar. Aynı mantıkla almayan hücresi için 67,5 bulunur. İki sürümün satır toplamı eşit olduğundan sürüm B için de aynı değerler geçerlidir.

Sonra her hücre için gözlenenle beklenenin farkının karesi beklenene bölünür ve hepsi toplanır. Bu örnekte her hücrede fark 7,5 olduğundan toplam yaklaşık 5,13 çıkar. Test istatistiği olarak adlandırılan bu değer ki-kare dağılımıyla kıyaslanır.

Serbestlik derecesi, satır sayısından bir çıkarılıp sütun sayısından bir çıkarılarak çarpılan değerdir. İki satır ve iki sütun için 1 eder. Serbestlik derecesi 1 iken 0,05 anlamlılık düzeyindeki kritik değer 3,84'tür. Hesaplanan değer bundan büyük olduğundan H0 reddedilir.

Sonucu yorumlamak: anlamlılık ile ilişkinin gücü

Test istatistiği kritik değeri aşıyorsa ya da p değeri seçilen düzeyin altındaysa bağımsızlık hipotezi reddedilir. Örnekte sürüm ile satın alma arasında bir ilişki olduğu sonucuna varılır. Bu, sürüm A'nın satın almayı artırdığını tek başına kanıtlamaz; yönü görmek için satın alma oranlarına, yani hangi sürümde satın alan payının daha yüksek olduğuna ayrıca bakılır. Deneyin rastgele atamayla kurulmuş olması nedensellik yorumunu güçlendirir.

Anlamlı sonucun ilişkinin güçlü olduğu anlamına geldiğini düşünmek sık yapılan hatadır. Örneklem büyüdükçe çok küçük farklar da anlamlı çıkar. İlişkinin gücü için Cramér V ya da benzeri bir etki büyüklüğü hesaplanır ve karar verirken pratik önemle birlikte değerlendirilir.

Tablo ikiden büyükse, ki-kare testi yalnız bir yerde ilişki olduğunu söyler, nerede olduğunu söylemez. Hangi hücrelerin beklenenden saptığını görmek için hücre bazında standartlaştırılmış artıklara bakılır.

Varsayımlar ve test ne zaman uygun değil?

Ki-kare yaklaşımı, beklenen sıklıkların çok küçük olmadığı varsayımına dayanır. Küçük örneklemlerde ya da çok seyrek hücrelerde yaklaşım bozulur. Çözüm, anlamlı olduğunda benzer kategorileri birleştirmek ya da iki satırlı iki sütunlu tablolarda Fisher'ın tam testini kullanmaktır.

Gözlemlerin bağımsızlığı da gereklidir. Aynı müşterinin öncesi ve sonrası ölçümlerini karşılaştırıyorsanız eşleştirilmiş veriler için McNemar testi gibi yöntemler gerekir. Veri sayım değil yüzde olarak verilmişse testten önce sayımlara dönülmelidir; yüzdelerle yapılan ki-kare hesabı yanlış sonuç verir.

Soru iki grubun ortalamalarını karşılaştırmaksa ya da veriler eşleştirilmişse ki-kare yerine başka testler gerekir; test seçimini verinin türü ve sorunun kendisi belirler.

Pratikte hesaplama: elle, tabloda ve kodla

Küçük tabloyu elle çözmek mantığı kavramak için faydalıdır. Pratikte hesabı bir tablolama programında beklenen sıklıkları satır ve sütun toplamlarından türeterek ya da istatistik yazılımıyla yaparsınız. Python'da SciPy kütüphanesi bu işi tek çağrıyla yapar:

import numpy as np from scipy.stats import chi2_contingency tablo = np.array([[40, 60], [25, 75]]) kare, p, sd, beklenen = chi2_contingency(tablo)

Çıktıdaki beklenen dizisini, elle bulduğunuz değerlerle karşılaştırmak hesabı doğrulamanın iyi bir yoludur. Kütüphane iki satırlı iki sütunlu tablolarda varsayılan olarak Yates süreklilik düzeltmesi uygular; bu yüzden döndürdüğü test istatistiği elle bulunan değerden belirgin biçimde küçük olur. Elle hesapla karşılaştırmak için çağrıya correction=False verin ve raporda hangi ayarın kullanıldığını belirtin.

Rapor yazarken yalnız p değerini değil, tabloyu, test istatistiğini, serbestlik derecesini ve etki büyüklüğünü birlikte verin. Okuyucu sonucu yeniden hesaplayabilmelidir.

Örnek bir rapor cümlesi şöyle olabilir: Arayüz sürümü ile satın alma durumu arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki bulundu; test istatistiği 5,13, serbestlik derecesi 1. Cümlenin ardından hangi sürümde satın alan payının daha yüksek olduğu ve etki büyüklüğü eklenir. Böylece okuyucu hem kararı hem de kararın dayandığı veriyi görür, sonucu kendi çıkarımıyla karşılaştırabilir.

Bu beceriyi Mindset programlarında nerede çalışırsınız?

Mindset kataloğundaki Veri Bilimi için İstatistik Eğitimi, tanımlayıcı istatistiklerden hipotez sınamaya, korelasyon ve regresyona uzanan konuları işler ve kategorik veriler için Two-Way Tabloları modülünü de içerir.

Çapraz tablo ile çalışan analistler, deney sonuçlarını raporlayan ürün ekipleri ve araştırma yapan öğrenciler için, ki-kare gibi tekil testleri bir istatistik çerçevesi içinde öğrenmenin yolu budur.